Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto (VU MIF) doktorantas Vytautas Miežys yra ne tik akademikas, bet ir šio dalyko mokytojas. Jo nuomone, egzistuoja daug priežasčių, kodėl Lietuvos mokiniams šis mokslas vis dar sunkiai įkandamas, bet nemano, kad drastiški sprendimai šiuo atžvilgiu padėtų.
Tiek pernai metų matematikos egzaminas, tiek bandomasis šiais metais parodė, kad didžiosios dalies egzaminą laikiusių abiturientų matematikos žinios yra žemiau negu vidutiniškos. Kaip manote, kodėl taip yra?
Priežasčių daug, bet svarbiausios, manau, dvi: prastas mokyklinės matematikos turinys ir akademinių žinių nuvertinimas visuomenėje.
Pakalbėkime apie pirmąją problemą – mokyklinės matematikos turinį. Moksleiviai mokykloje susipažįsta su įvairiomis daugybomis:
1. Mažų natūraliųjų skaičių, pvz. 3 x 5. Tuomet rezultato ieškome kartotinai sudėdami tris penketus, t. y. 3 x 5 = 5 + 5 + 5.
2. Didelių natūraliųjų skaičių daugyba, pvz. 352 x 49. Tuomet rezultatą gauname daugindami skaičius stulpeliu.
3. Daugyba iš 10, 100, 1000, …, pvz. 13 x 100. Tuomet rezultatą gauname gale prirašydami atitinkamą kiekį nulių, t. y. 13 x 100 = 1300.
4. Dešimtainių trupmenų daugyba, pvz. 1,3 x 4,5. Tuomet rezultatą gauname visų pirma apsimesdami, kad dauginame natūraliuosius skaičius 13 ir 45, o gautoje sandaugoje kablelį padedame atskaičiavę du skaitmenis nuo galo.
5. Paprastųjų trupmenų daugyba, pvz. 1/3 x 4/9. Tuomet rezultatą gauname sudauginę skaitiklį su skaitikliu ir vardiklį su vardikliu.
6. Šaknų daugyba, pvz., tuomet rezultatą gauname sudaugindami pošaknius.
7. Laipsnių daugyba, pvz., tuomet rezultatą gauname sudėdami laipsnių rodiklius, o laipsnio pagrindą perrašydami.
Yra ir daugiau daugybų, visos jos su savais atspalviais. Iš pirmo žvilgsnio šios daugybos niekaip tarpusavyje nesusijusios – viso labo skirtingų taisyklių rinkinys. Norėtųsi tikėtis, kad šios taisyklės moksleiviams yra paaiškinamos, visos daugybos tarpusavyje susiejamos. Tačiau taip nėra.
Užtenka atsiversti paprastųjų trupmenų daugybos temą populiariausiame Lietuvoje matematikos vadovėlyje „Matematika Tau“[1] ir išvysime, kad be jokių komentarų tiesiog nurodoma taisyklė, kaip dauginti paprastąsias trupmenas. Kad maža nepasirodytų, tame pačiame puslapyje pristatoma ir paprastųjų trupmenų dalybos taisyklė. Žinoma, be jokių komentarų, kaip pateikta taisyklė su kuo nors susijusi.
Daugyba – tik siauras mokyklinės matematikos pjūvis. Kitose srityse darnos, nuoseklumo ir sąsajų taip pat trūksta. Vaikams matematiką pateikiame fragmentiškai, tarytum Hario Poterio istoriją pasakotume tik apie Harį, vėliau tik apie Ronį, tuomet tik apie Sneipą ir šių personažų tarpusavyje nesietume. Tokias žinias įsisavinti labai sudėtinga. Protas nori dalykus sieti tarpusavyje, bet sąsajas šiuo metu moksleiviai turi atrasti patys, jų vadovėliuose nepateikiame.
Kodėl taip yra? Dėl to, kad mes nežinome, kaip mokyklinės matematikos turinį išdėstyti nuosekliai ir darniai: nežino nei mokytojai, nei matematikai, nei vadovėlių leidėjai, nei politikai. Tokį žinojimą į visuomenę turi atnešti mokslininkai, kurie ilgą laiką gilinasi į mokyklinę matematiką. Palengva, atrodo, šią problemą pradedame suvokti. Vienas iš tokios problemos supratimo vaisių – neseniai Vilniaus Universitete įkurtas Matematinio švietimo centras. Turiu atskleisti šališkumą – pats esu šio centro dalis. Viena iš centro užduočių – sukurti nuoseklų ir darnų mokyklinės matematikos turinį.
Antroji problema – akademinių žinių visuomenėje nuvertinimas. Esame įsitikinę, kad brandos atestatą įgijęs asmuo turi būti kūrybingas, savimi pasitikintis, laimingas, pilietiškas. O ar jis turi žinoti Niutono ir Leibnico formulę? Ar turi suvokti, kuo skiriasi vektorius nuo skaliaro? Ar turi mokėti įrodyti kosinusų teoremą? Ne, šitų dalykų tikrai nereikia – duokit mums kūrybingą ir laimingą žmogų!
Tokia visuomenės pozicija persmelkusi mokyklas – mokytojams nuolat organizuojami seminarai apie tai, kaip išlaisvinti moksleivių kūrybingumą, kaip sužadinti motyvaciją, kaip mokyti moksleivius bendradarbiauti. Motyvacija, kūrybingumas, žinoma, velniškai svarbūs dalykai, bet įsivaizduokite, kad turite išmokyti vaikus apie Hario Poterio pasaulį, tačiau neegzistuoja Hario Poterio knygos – viskas, kas egzistuoja, tai padriki faktai apie Harį, Ronį, Sneipą, Hogvartsą ir kitus to pasaulio elementus.
Žadink motyvaciją, kaip nori – žaidimais, kompiuteriais, morkomis ar bizūnais, bet mokytis apie paskirus elementus be intriguojančios istorijos – tiesiog bergždžias darbas. Kadangi žinios nesvarbu, tai nemokome ir galbūt net neįsivaizduojame, kad gali egzistuoti įdomi ir įtraukianti mokyklinės matematikos istorija.
Ar galima būtų pirmąją problemą išspręsti į lietuvių kalbą išvertus Suomijos ir Singapūro vadovėlius?
Įsivaizduokime, kad išvertėme pradinių klasių Singapūro matematikos vadovėlius ir davėme juos mokytojams. Mokytojas paima tokį vadovėlį į rankas, perverčia. Pamato, kad ten daug „žaidimo“ su spalvotomis sagutėmis, kas, to mokytojo akimis, visiškai nereikalinga. „Ai, ką čia žaisti, paaiškinsiu paprasčiau,“ – nutaria mokytojas ir keletą vadovėlio temų praleidžia vietoje jų pasiremdamas savo patirtimi. Tokiu būdu palengva grįžtame įprastą mokymą, tik vadovėlio pavadinimą pakeitėme.
Tarkime, kad apmokėme mokytojus dirbti su vadovėliais. Į klases ateina vaikai. Pirma užduotis naujoje temoje – moksleiviai 15 minučių turi tyrinėti anksčiau nematytą problemą ir pateikti savo sprendimų versijas. Praeina 15 minučių, savo versiją pristato Tomas ir Agnė. Pristato neteisingai. Iš jų pasityčioja Jūratė. Daugiau niekas pristatinėti nenori. Mokytoja paaiškina temą.
Kitą pamoką vėl tas pats – nematyta užduotis ir 15 minučių savarankiško darbo. Savas mintis pristatyti norinčių nėra. Mokytoja vėl paaiškina temą. Po kelių savaičių tokio darbo mokytoja pradeda abejoti singapūrietiškais metodais, keletas tėvelių pasipiktina, kad moksleiviai tuščiai gaišta laiką. Naują mokymo metodą žiniasklaidoje sukritikuoja užkalniai. Štai ir vėl grįžome į status quo.
Mokymo ir mokymosi kultūros keitimas – labai sudėtingas procesas. Tai subtilūs ir gilūs kultūriniai dalykai, kurių nepastebime tol, kol nepradedame jų keisti. Vadovėlių išvertimas kultūros nepakeis – tam reikalingos ilgametės visuomenės diskusijos, kurios, atrodo, pamažu atsiranda. Tai geras ženklas.
Kaip manote, ką pirmiausia reikėtų daryti ir kaip padėti mokiniams, kad šio dalykai rezultatai pradėtų gerėti? Ar mokiniai, kurie dabar mokosi mokyklose ir laikys egzaminus vėliau, galėtų tikėtis kažkokiu pokyčių ir papildomos pagalbos? Gal reiktų, kaip mokantis užsienio kalbų, matematikos mokyti mažesnėse grupėse?
Svarbu, kaip reikiant išjudinti mokyklinės matematikos mokslo srities veiklą. Manau, idealu būtų išsiųsti 10 gabių studentų pas geriausius matematikos mokymo specialistus į doktorantūros studijas jiems apmokant studijas ir gyvenimą su sąlyga, kad jie po studijų 5-eriems metams grįžtų į Lietuvą ir prisidėtų prie šios disciplinos plėtojimo Lietuvoje. Planas, žinoma, nerealus, bet tokią matau kryptį.
Šiuo metu yra peržiūrimos matematikos mokymo programos. Atrodo, kad turėsime kokybiškesnį produktą negu iki šiol. Tai pagerins matematikos mokymo situaciją.
Dėl mažų klasių. Tam nepritariu. Yra keletas tyrimų, kurie rodo, kad tai naudinga silpniausiems moksleiviams, tačiau yra ir tokių tyrimų, kurie rodo, kad kuo mažiau moksleivių klasėje, tuo daugiau mokytojas kalba. Yra ne vienas tyrimas, kuris parodo, kad net sumažinus klases ir mokytojus per vasarą apmokius specifinių darbo metodų su mažomis klasėmis, mokytojai vis tiek dirba įprastu būdu ir rezultatai ženkliai nepagerėja.
Neretai klasių mažinimas būna tiesiogiai susijęs su moksleivių skirstymu į klases pagal gebėjimus. Tai mokslinėje literatūroje gana išsamiai ištirta tema [2]: trūkumų ir pavojų nemažai, o privalumai nedideli. Tokių tyrimų, kurie parodytų, jog sumažinus klases matematikos mokymosi rezultatai ženkliai pagerėtų visiems moksleiviams matęs nesu.
Pamokų skaičiaus didinimas, kurį dabar numatė ŠMSM – sveikintinas dalykas.
Ar tikrai reikia matematikos egzamino visiems stojantiems į aukštąsias mokyklas? Gal tikrai yra „tiksliukai“ ir „humanitarai“, todėl vieniems tiesiog neduota gerai išlaikyti to egzamino, bet tuomet užsiveria galimybė mokytis nemokamai?
Esu už privalomą baigiamąjį matematikos egzaminą. Manau, kad mums, kaip visuomenei, tai geras veidrodis – ar pakankamai dėmesio skiriame jaunajai kartai. Praėjusių metų rezultatai itin skaudūs – matematikos neišmokėme kas trečio moksleivio. Šių metų rezultatai dėl nuotolinio mokymo tikriausiai bus dar prastesni – bus skausminga ne tik abiturientams, bet ir mums, už juos atsakingai visuomenės daliai. Turbūt visgi geriau žvelgti realybei į akis negu nuo jos bandyti nusisukti.
Yra ir kitas aspektas – matematikos egzamino išlaikymas kaip raktas į universitetines studijas. Kad ir kaip žiauriai tai skambėtų, bet kažkuriuo metu turime formaliai vaikui uždaryti tam tikras duris: „Deja, drauguži, šis kelias ne tau.“ Mano galva, bet kuri akademinė disciplina yra velniškai sudėtinga ir stipriai viršija mokyklinės matematikos abstraktumą. Jei neįveiki mokyklinės matematikos, manau, tai geras ženklas, kad universitetinės studijos – ne tavo kelias.
Neskuba vertinti bandomojo egzamino
Lietuvos matematikos mokytojų asociacijos (LMMA) prezidentė Regina Rudalevičienė „Delfi“ komentavo, kad dėl šių metų bandomojo egzamino rezultato nedarytų galutinių išvadų, kadangi mokiniai nebuvo klausinėjami iš visų temų ir jų pasiekimai buvo tikrinami tik iš dalies.
„Tiesiog gali būti, kad mokiniai kitose srityse galbūt turi geresnių pasiekimų, o bandomajame egzamine kai kurios temos galėjo dar būti neišnagrinėtos. Iki mokslo metų pabaigos dar yra laiko ir galėjo būti dar tos temos neišeitos.
Na, o pernai metų egzamino rezultatai tiesiog atskleidė, kad Lietuvos dvyliktokų matematikos pasiekimai yra prasti. Tai neatsitiko per vienerius metus, tai jau buvo pastebima kelerius metus. Visų pirma, žemėjanti išlaikymo riba ir mažėjanti gerai išlaikiusių mokinių dalis“, – teigė ji.
Paklausta, ar matematikos vadovėliai atitinka mokinių mokymosi poreikius, sakė, kad šiuolaikinis mokymas nebevyksta pagal vieną vadovėlį.
„Taigi, apie vadovėlio tinkamumą ar netinkamumą turbūt nereikėtų kalbėti. Mokytojai ir mokiniai naudoja ir skaitmenines priemones, ir įvairius vadovėlius, ir įvairius uždavinynus. Tikrai neapsiriboja vienu vadovėliu.
Kalbant apie mokinių motyvaciją, tai jau yra vidurinio ugdymo mokiniai ir suaugę žmonės. Nemažai jų jau turi darbus ir juos derina su mokslais. Jie patys savarankiškai sprendžia, kiek įsitraukti į mokymąsi. Mano nuomone, tai yra dvipusė veikla, todėl vien tik mokytojas ir mokymo metodika nebegali šito suvaldyti. Taip pat atsakingas ir pats mokinys.“
Pastebėdavo tam tikrą atsipalaidavimą
R. Rudalevičienė taip pat kalbėjo, kad nors ir negali komentuoti, kaip yra visose mokyklose su pamokų lankomumu, bet gali pasidalyti įžvalgomis iš asmeninės patirties.
„Tiesa, aš negaliu daryti išvados apie visus dvyliktokus, bet kai vyko „gyvas“ mokymasis, vyresnių klasių mokiniai ir pailsėdavo, ir paatostogaudavo per mokslo metus. To, ko, pavyzdžiui, mes mokytojai neturime ir negalime sau leisti. Taigi, praleisdavo nemažai pamokų, todėl lankomumas galėtų būti viena iš priežasčių prastėjančių rezultatų.“
Kalbėdama apie galimus prastėjančių rezultatų sprendimo būdus, LMMA prezidentė pastebėjo, kad mes tik neseniai susitaikėme su situacija ir pamatėme tikrąją padėtį.
„Tiesiog reikia nenuolaidžiauti ir normaliai tęsti mokymą, kad mokiniai patys irgi jaustų atsakomybę. Man atrodo, kad toks normalus mokinio ir mokytojo bendradarbiavimas per kelerius metus turėtų duoti rezultatų.
Žinoma, kai ką reikėtų ir stiprinti. Atnaujinus vidurinio ugdymo programą 2011 m., matematikos mokymas buvo vis lengvinamas ir tokiu būdu bandyta padėti mokiniui. Taip atsisakyta kai kurių teiginių įrodymų, todėl mokiniui visa matematikos mokslo logika yra išnykusi. Jis nebesupranta kai kurių ryšių, tad kai žinios yra fragmentiškos, prasideda nesupratimas“, – tikino R. Rudalevičienė.
Jos nuomone, viena kryptis turėtų būti pačios matematikos mokymasis ir argumentavimo mokymasis. Kitaip sakant, ryšių ieškojimas, bet tam, aiškino matematikė, reikalingas nemažas laikas ir pačio mokinio didelis įsitraukimas.
[1] Kornelija Intienė, Vida Meškauskaitė, Jolanta Knyvienė, Žydrūnė Stundžienė, Valdas Vanagas. Matematika Tau plius. 6 klasė. 1 dalis. 120 p., minkštas įrišimas, 2015, ISBN: 978-609-433-222-7
[2] https://www.cambridgemaths.org/Images/espresso_5_attainment_grouping_in_mathematics_learning.pdf