Algis Kavaliauskas. Matematikos brandos egzamino pažymio klystkeliai

Bėdos traukia viena kitą. Iš dviejų esminių mokyklinės matematikos įsisavinimo aspektų – išmokymo ir teisingo įvertinimo – turime didelių spragų abiejuose. Matematikos mokymo trūkumus ir jų pašalinimo būdus prieš kurį laiką jau aptarėme. Šiuo straipsniu siekiama atskleisti matematikos egzamino pažymio subjektyvumą, o kartais ir neatitikimą mokinio žinioms. Išnagrinėsime, kodėl ir kaip tai vyksta. Tai juk nėra vien teorinė problema. Į ją atsitrenkusios dūžta mokinių motyvacija ir pastangos išmokti matematiką.

Reforma, nedraugaujanti su pažymio tikslumu

Pagal naują matematikos egzamino pažymio apskaičiavimo sistemą, Valstybinio brandos egzamino pažymys turės dalytis įtaka su dviem mokykliniais egzamino pažymiais (santykiu 60%+20%+20%). Aptarsime, kaip ši reforma mistifikuoja egzamino pažymį.

Atskirkime dvi naujoves. Papildomų matematikos egzaminų įvedimas mokykloje yra teigiamas žingsnis. Tačiau jų pažymiai ir turėtų įeiti dalimis į galutinį mokyklinį pažymį. Mokyklinių pažymių pakėlimas iki Valstybinio brandos egzamino pažymio lygio yra nekorektiškas. Negali būti sumuojami pažymiai, skirtingai apsaugoti nuo pašalinės įtakos.

Pažvelkime į tai dar ir iš kitos pusės. Nemažai jaunimo persvarsto savo tikslus būtent dešimtoje–vienuoliktoje klasėje. Po to dalis jų pradeda mokytis matematiką intensyviau. Gerą žinių lygį jie įgauna ne iš karto. Todėl jų žemas vienuoliktos klasės egzamino pažymys neatitinka jų matematikos žinių 12 klasės pabaigoje. Anksčiau čia problemos nebūdavo, nes viską įvertindavo valstybinis egzaminas. Dabar pasirodo, kad žinios nėra vienintelis pažymio kriterijus. Atsiranda dar vienas faktorius – nepriekaištinga matematinė biografija.

Du vienodai išmanantys matematiką abiturientai, vienas iš kurių gerai mokėsi matematiką nuolat, o kitas – intensyviai per paskutinius dvejus metus, bet pasiekė tą patį žinių lygį, mūsų sistemos bus įvertinti skirtingai. Ir šis skirtumas gali būti didžiulis, net iki 40 proc. Matematinės biografijos įtaka pažymiui yra naujas neigiamas veiksnys vertinimui.

Dėl temų išbalansavimo nukenčia pažymio tikslumas

Pabandykime trumpai susipažinti su matematikos brandos egzamino užduočių sudarymo principais. Patys principai nėra jokia paslaptis. Jie suformuluoti atvirai pasiekiamuose Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) internetiniuose puslapiuose.

Valstybinio brandos matematikos egzamino turinį nustato tam tikra lentelė. Ji vadinama egzamino matrica. Pagal ją sukuriamos egzamino užduotys. Be abejo, egzamino matrica yra labai svarbi matematikos mokytojui ir mokiniui nustatant mokymo ir mokymosi taktiką. Tačiau tai dar ne viskas. Jos svarba ir įtaka viršija egzamino rėmus. Ji nulemia mokyklinės matematikos tendencijas, mokyklinių matematikos vadovėlių kryptį. Juk tam, ko nebus egzamine ar bus mažai, galima skirti mažiau dėmesio, palyginti su tuo, ko bus daug.

Pereikime prie matematikos brandos egzamino matricos:

Vien tik žvilgtelėjus į ją, iškart trūkumas rėžia akį. Juk ji tik pusiau užpildyta. Kodėl taip padaryta? Jeigu nereikia Gebėjimų grupės suskirstymo pagal eilutes, tai kam ją išvis įrašyti į lentelę, o jeigu ji įrašyta, tai kodėl nepateikti skaičiai?

Dar rimtesnis lentelės trūkumas yra tas, kad ji neturi vientiso sudarymo principo. Išsiaiškinkime. Bet kokios lentelės tikslas yra nagrinėjamos visumos išskaidymas pagal eilutes ir stulpelius. Todėl nekorektiška skaidymo metu keisti dalijimo principą (priešingu atveju visų eilučių skaičių suma nebus lygi 100 proc. skaidomos visumos ir lentelė neteks prasmės).

O dabar pažvelkime į Egzamino matricos eilučių sudarymo principą. Dvi iš jų (2. Geometrija ir 4. Kombinatorika, tikimybės ir statistika) parodo, kad skaidymas yra (kaip ir turėtų būti) pagal mokyklinės matematikos temą (logikos rūšį). Tačiau kitoms dviem eilutėms (pirmai ir trečiai) šis principas netaikomas. Jose skaidoma pagal sprendimo būdus, jo instrumentus ir sudedamąsias dalis. Tokiu būdu prarandama lentelės esmė – visiškas visumos suskaidymas. Lentelė tampa beveik niekine. Norėdami tai pajausti, pabandykime atsakyti į klausimą: kiekgi procentų geometrijos remiantis lentele turi būti egzamine?

Teisingas atsakymas – nuo 25 iki 85 procentų. Nes pirmos eilutės visus 30 procentų galima užpildyti geometrija. Juk ji turi ir skaičių, ir skaičiavimų, ir reiškinių, o Pitagoro teoremos pritaikymas duoda puikų lygties pavyzdį. O kadangi plotas gali būti kraštinės, kampo ir t. t. funkcija, tai trečią eilutę irgi galima „geometrizuoti“. Ar tikrai norėta suteikti geometrijai matematikos mokslų karalienės titulą, ar čia tiesiog taip susiklostė? Kaip paskirstyti abiturientui savo mokymosi jėgas pakliuvus į tokią „pelkę“?

Deja, tuo viskas nesibaigia. Padaroma rimta žala visam mokyklinės matematikos mokymo turiniui. Juk iš mokyklinių vadovėlių, kurių rašymas orientuojasi į šią matricą, palaipsniui išplaunamos kitos, šioje lentelėje praleistos logikos: rodiklinės ir logaritminės funkcijos, lygtys ir nelygybės bei jų taikymai, trigonometrinės lygtys, nelygybės ir jų taikymai ir t. t. (taip pat skaitykite „Sergejus Sokolovas. Dėl autokratinės matematikos programos“).

Tokiu būdu atsiranda du šaltiniai, galintys sumažinti egzamino pažymį. Pirmas – neaiški egzamino sudėtis. Dėl to abiturientų mokymosi ir vertintojų akcentai gali skirtis. Antrasis kyla iš perteklinio geometrijos dominavimo egzamine. Kuo tai pateisinama? Juk tolesnėse studijose universitetuose geometrija, palyginti su kitomis matematinėmis logikomis, neišsiskiria nei savo populiarumu, nei ypatingu pritaikymu.

Be to, mokyklinės geometrijos esmė – plokštumos geometrija. Jos išmokoma ir egzaminas išlaikomas jau dešimtoje klasėje.

Geometrijos uždavinius moksleiviai sprendžia vidutiniškai ilgiau ir todėl sunkiau negu kitus. Todėl, turint galvoje mūsų matematikos egzaminavimo stilių (egzamine vidutiniškai uždavinio sprendimui turi būti skiriama mažiau nei 5 minutės), geometrijos uždavinių perteklius gali nepelnytai pažeminti vidutinį egzamino pažymį.

Diskusijai pateikiame kitokį egzamino matricos pavyzdį:

Aritmetinė klaida

Egzamino klaidas santykinai galima suskirstyti į dvi grupes: logines ir aritmetines. Aritmetinės klaidos atsiranda sudedant, sudauginant, padalijant ar atimant kelis skaičius, taip pat atskliaudžiant skliaustus arba perkeliant skaičių į kitą lygybės pusę, arba tiesiog neatidžiai ir todėl klaidingai perrašant skaičių. Pabrėšime, kad dėl aritmetinių klaidų klasifikavimo galima vienareikšmiškai susitarti, jeigu reikia, kiek praplečiant ar susiaurinant šią grupę.

Loginės klaidos pasireiškia netinkamu, neteisingu uždavinio sprendimo kelio pasirinkimu.

Kartais atrodo, kad aritmetinės klaidos matematikoje tam tikra prasme panašios į lietuvių kalbos rašinio gramatines klaidas. Tačiau tai tik išorinis panašumas. Tarp jų yra esminis skirtumas. Jeigu po egzamino pasiūlytume abiturientui sudauginti, padalyti ir t. t. tuos skaičius, su kuriais buvo padaryta klaidų, tai jis greičiausiai tai atliktų teisingai. Tuo tarpu padiktavus tuos žodžius, kuriuose buvo padaryta gramatinių klaidų, greičiausiai ir vėl būtų padarytos tos pačios klaidos. Tai parodo skirtingą šių klaidų prigimtį. Paprastai aritmetinės klaidos nėra nežinojimo ar nemokėjimo indikatorius. Tai išsiblaškymo, atsipalaidavimo, streso ar nuovargio klaidos.

Turime rimtą problemą – ar reikia taisant darbą atsižvelgti į klaidos pobūdį? Iš vienos pusės, prietaisas neveiks, nepriklausomai nuo to, kokio tipo klaida, aritmetinė ar loginė, bus padaryta jį projektuojant. Iš kitos pusės, darant prietaisą nepasireikš tokios agresyvios sąlygos, kaip egzamino metu. Tada bus pakankamai laiko pertikrinti visus skaičiavimus ir tai atlikti ne streso būsenoje.

Giliau pasvarstę ir padiskutavę (bet ne šioje vietoje), prieiname prie išvados, kad atsižvelgti į klaidos pobūdį būtina. Tai reiškia, vienaip ar kitaip turėtume apriboti aritmetinių klaidų įtaką pažymiui. Visa laimė, čia NŠA vertintojų ir straipsnio autoriaus nuomonės sutampa. Deja, nesutampa sprendžiant, kaip tai padaryti.

Pastebėsime, kad mokykloje dar neretai neskiriamas klaidos tipas (bet kokia klaida yra klaida). Tokia vertinimo sistema apsunkina matematikos įsisavinimą. Atsiranda dirbtinis „neigiamas potencialas“, trukdantis mokiniui likviduoti spragas. Padirbėjęs namuose ir pašalinęs atsilikimą mokinys dažnai nesugeba tuo pačiu metu suvaldyti ir logikos, ir aritmetikos. Neatsižvelgimas į proveržį logikoje ir per griežtai vertinamos aritmetinės klaidos grąžina pažymį į „nemokšos lygmenį“. O tai sužlugdo jo ryžtą dirbti.

Egzamino taisymo taisyklių įtaka pažymiui

Jau esame rašę apie olimpiadinės vertinimo sistemos neigiamą įtaką egzamino pažymiui („Algis Kavaliauskas. Matematikos brandos egzamino išpažintis“). Turime pratęsti šią temą, nes šioje srityje niekas nepakito (iki 2023 metų).

Prisiminkime, kaip sudarytas matematikos brandos egzaminas. Jį sudaro apie 40 užduočių, suskirstytų į tris dalis. Pirmųjų dviejų dalių uždavinių sprendimai netikrinami. Tikrinami tik jų atsakymai. O tai reiškia, jog čia neatsižvelgiama į klaidos tipą. Nespręstas uždavinys ir uždavinys, išspręstas su aritmetine klaida, vertinami vienodai – nuliu taškų. Bet juk kaip tik pirmosios dvi dalys yra skirtos silpnesniesiems (daugumai laikančiųjų). Dėl to jau turime nemažą paklaidą tarp realių žinių ir jų įvertinimo.

Trečiojoje egzamino dalyje yra taisomi uždavinio sprendimai. Čia bandoma atsižvelgti į aritmetines klaidas. Pasiaiškinkime, kodėl dabartinis atsižvelgimo principas gali iškreipti pažymį.

Paimkime vieną pavyzdį. Tegul du vienodai išmanantys matematiką abiturientai sprendžia keturių taškų uždavinį ir jame padaro po keturias aritmetines klaidas (ir jos visos leidžia patikrinti uždavinio sprendimo logiką). Tegul abiejų abiturientų šio uždavinio sprendimo logika yra teisinga, bet neteisingas atsakyme gautas skaičius. Teisinga egzamino sistema turėtų įvertinti abu abiturientus vienodai. Juk jų abiejų vienodai teisinga sprendimo logika, jie abu padarė po tiek pat aritmetinių klaidų. Bet dabar egzamine taikoma vertinimo sistema laisvai gali vieną iš jų įvertinti nuliu taškų, o kitą – net trimis taškais. Viskas priklausys nuo „klaidžiojančios aritmetinės klaidos“ vietos.

Juk tikrinant, uždavinys dalijamas į keturias, po tašką vertinamas, dalis. Jeigu pirmas abiturientas keturias aritmetines klaidas padaro viename, tarkime, pirmame padalijimo žingsnyje, tai už jį taškų negauna. Toliau su jo aritmetinėmis klaidomis tikrinama kitų trijų etapų sprendimo logika. Kadangi ji teisinga, tai jis ir gauna 3 taškus. O dabar paimkime kitą variantą. Abiturientas aritmetines klaidas „išbarsto“, t. y. padaro po vieną kiekvienoje iš keturių vertinimo dalių. Todėl gauna po nulį iš kiekvienos dalies ir nepriklausomai nuo to, kad jo sprendimo logika yra teisinga ir klaidų padarė lygiai tiek pat, kaip ir pirmasis, jo uždavinys yra įvertinamas nuliu taškų. Todėl tik viename 4 taškų uždavinyje dabar galiojanti vertinimo sistema gali „apsirikti“ net trimis taškais.

Tokios vertinimo sistemos ydos nėra nei būtinos, nei neišvengiamos. Pavyzdžiui, su vienu būdu, išvengiančiu tokių vertinimo klaidų, galima susipažinti šio skyrelio pradžioje paminėtame straipsnyje.

Pažymio neadekvatumas dėl netinkamų užduočių

Neįprasta, bet turime iškelti gailesčio klausimą. Kiekgi egzaminas turi būti gailestingas mokiniui? Egzaminas – tai „žinių temperatūros išmatavimo procesas“. Šiame procese termometras turi būti teisingai sugraduotas. Deja, mūsų matematikos egzamino užduočių visumai dar toli iki optimalumo. Mes neretai emociniu užduočių rinkiniu viską sujaukiame, o po to pradedame gelbėti padėtį, taip dvigubai iškreipdami teisingumo skalę.

Pradėkime nuo priežasties: kodėl taip atsitinka? Pažvelkime į problemos esmę: ką gi turėtų vertinti matematikos egzaminas? Atrodytų, atsakymas yra akivaizdus – mokyklinės matematikos programos žinias.

Įdomu, ar yra be Lietuvos dar tokia šalis, kuri turi tokią didžiulę prarają tarp plano (mokyklinės matematikos programos) ir praktikos (realių matematikos žinių, gaunamų baigus mokyklą)? Atsiranda du skirtingi pasauliai: vienas – plano, kitas – praktikos.

Kodėl yra ta žinių praraja? Ne dėl per didelio plano. Išmokyti matematikos galima dar daugiau, negu dabar yra programoje. Ši praraja užprogramuota dėl netinkamos matematikos mokymo sistemos. Jos pagrindinis trūkumas yra tas, kad neskiriamas matematikos ir humanitarinių dalykų mokymo procesas. Matematikos mokymo esmė glūdi pasakyto sakinio supratime, ko nėra humanitariniuose dalykuose (juose svarbiau kitkas – išmokimas). Matematikoje tam, kad mokinys suvoktų tai, ką norėjo pasakyti mokytojas, reikia rimto abiejų darbo. O tam kritiškai svarbus yra mokytojo mokiniui skiriamas laikas. O jis priklauso nuo mokinių skaičiaus klasėje. Apie matematikos išmokymą galima pradėti kalbėti tik tada, kai klasėje mokinių skaičius neviršija 15.

Praleidę supratimo momentą iškart netenkame ir išmokimo. O darydami tai nuolat gauname minėtą prarają.

Atleiskite dėl analogijos. Tam, kad vaikai išmoktų plaukti, mes tvirtiname, kad būtina į baseiną pripilti vandens. Švietimo sistema tvirtina, kad tai per brangu. Užtenka organizuoti treneriams kvalifikacijos kėlimo kursus, išleisti tinkamus vadovėlius, plaukimo mokymo priemones, organizuoti daugiau konferencijų ir, aišku, priversti vaikus netingėti.

Gal galima būtų lėšų problemą išspręsti kitaip. Visgi pripildyti baseiną vandens, bet pusę jo darbo laiko išnuomoti. Tiesa, tada galės išmokti plaukti tik pusė vaikų, bet tai vis tiek žymiai daugiau, negu su baseinu be vandens. (Baseino vandens atitikmuo yra mokytojo atlyginimas ir matematikos pamokoje dalyvaujančių mokinių skaičius).

Kažkada ateina egzamino laikas ir jis nepriklauso nuo mokinių matematikos žinių. Grįžkime prie klausimo, ką gi turėtų vertinti matematikos egzaminas Lietuvoje? Kai programa neatitinka praktikos, tai, būkime sąžiningi, moksleiviai čia beveik nieko negali padaryti. Kol neatliksime reformų ir nepanaikinsime šio skirtumo, turime pasirinkti praktiką. O tai reiškia, vertinti tai, ko išmoko mokykla, t. y. įsivaizduojamos vidutinės mokyklos matematikos išmokymo žinias. Todėl visi egzamino uždaviniai turi atitikti tą žinių lygį, t. y. būti žymiai paprastesni (išskyrus uždavinius, skirtus aukščiausiems balams). Beje, tai nereiškia, kad egzamino uždaviniai turi būti primityvūs.

Tačiau mūsų egzaminų sudarytojai neretai paslysta ant šių praktikos-teorijos žinių žirklių. Ir tada pasipila įvairios „kompensacijos“. Pavyzdžiui, įdedami uždaviniai, kuriuos išsprendžia skaičiavimo mašinėlė arba galima kaip nors kitaip apeiti uždavinio sprendimą, t. y. jų taškus galima surinkti nepritaikius matematikos žinių. Tokie uždaviniai iškreipia vertinimo procesą, nes dalis moksleivių juos sprendžia naudodami matematikos žinias, o kita dalis – ne. Pastarieji, net nemokėdami išspręsti tokio uždavinio, gali gauti teisingą jo atsakymą ir tokiu būdu būti neteisingai teigiamai įvertinti.

Išradingi pažymio mistifikavimo būdai

Štai pats paskutinis, 2023 metų, matematikos brandos egzaminas. Gana nemaža dalis užduočių egzamine buvo labai panaši į mokyklos bandomojo egzamino užduotis (D. Dzindzalieta: „Vien išsprendę bandomąjį egzaminą mokiniai egzamine galėjo atpažinti bent 13 užduočių“). Informaciją apie šią sąsają nebuvo vieša. Atsirado nevienodos visiems egzamino laikymo sąlygos. Be to, čia ne tik nevienodų egzamino sąlygų, bet ir pažymio adekvatumo problema. Juk pažymiai nepriklausė nuo to, ar moksleivis mokėjo visą temą, ar tik tuos minėtus uždavinius.

Pastebėkime, kad tai geros idėjos netinkamo realizavimo pavyzdys. Iš tikrųjų turėtų būti išleistas egzamino uždavinių uždavinynas. Jame turėtų būti apie 150–200 uždavinių (ne daugiau) su atsakymais (10–20 temų po 10–15 uždavinių). Prieš kiekvieną temą turėtų būti surašytos formulės, skirtos tai temai, ir keli uždavinių sprendimo pavyzdžiai.

Visiems turi būti žinoma, kad apie du trečdalius egzamino uždavinių bus paimta, pakeičiant nebent skaičius (bet ne sprendimo idėją) iš šio uždavinyno. Tai didžiulė paskata mokiniui perspręsti visą uždavinyną ir gal net kelis kartus. Mokytojas gautų aišku orientyrą darbui klasėje. Mokiniui tai nuimtų stresą dėl egzamino neišlaikymo.

Jeigu mokinys sugebėtų išspręsti bet kokį šio uždavinyno uždavinį teisingai, tai jo egzamino pažymys turėtų būti tarp 6 ir 8.

Norėtųsi pozityvo pabaigai. Tegul tai būna viltis. Gal kada nors pavasaris ateis ir į matematikos mokymą ir mūsų matematikos egzaminas turės teisingą žinių vertinimą.

P. S. Visi straipsnio teiginiai yra autoriaus subjektyvi nuomonė, paremta daugiamete pedagogine praktika.