33 metų futbolininkas gimė ir užaugo Marijampolėje, „Sūduvoje“ pradėjo ir profesionalo karjerą.
Gimtajame klube S. Klevinskas rungtyniavo 2001-2009 metais, buvo komandos kapitonas ir su ja tapo 2007 metų Lietuvos vicečempionu, 2005 ir 2009 metų bronzos medalių laimėtoju, taip pat 2006 ir 2009 metais iškovojo LFF taurę bei 2009 metų Supertaurę.
Vėliau marijampoliečio kelias vedė į Jerevano „Mika“ (2010), Vilniaus „Žalgirį“ (2010-2011) ir Maskvos „Torpedo“ (2011-2014). Žaisdamas Rusijoje, 2011-aisiais S. Klevinskas buvo išrinktas geriausiu šios šalies I lygos vartininku.
2014-ųjų pabaigoje vartų sargas grįžo į „Žalgirį“, kuriam atstovavo iki šių metų vasaros. 2017-ųjų sezoną S. Klevinskas užbaigė Vilniaus „Vytyje“, kuriam padėjo I lygoje laimėti bronzos medalius ir pasiekti LFF taurės turnyro pusfinalį.
S. Klevinskas tapo jau 19-uoju žaidėju kitam sezonui buriamoje „Sūduvos“ komandoje.
Galiojančias sutartis su klubu taip pat turi marijampoliečiai Vaidas Slavickas, Povilas Leimonas, Giedrius Matulevičius, Domantas Antanavičius ir Darius Isoda, taip pat Algis Jankauskas, Andro Švrljuga, Ivanas Kardumas, Robertas Vėževičius, Paulius Janušauskas, Ovidijus Verbickas, Karolis Laukžemis, Semiras Kerla, Josipas Tadičius, Jeremy Manzorro, Choco, Sergio Semedo ir Rigino Cicilia.