A. Vilčinskas gimė 1948 m. rugpjūčio 4 d. Vidiškiuose, Ukmergės apskrityje.
Buvo slidininkas, biatlonininkas, biatlono ir slidinėjimo, greitojo čiuožimo treneris, teisėjas.
Daugkartinis Lietuvos čempionatų nugalėtojas ir prizininkas didžiausią pergalę pasiekė laimėjęs SSRS biatlono čempionato bronzą.
1979-1981 m. A. Vilčinskas buvo Kūno kultūros ir sporto komiteto (KKSK) biatlono ir slidinėjimo sporto šakų vyr. trereis, 1981-1985 m. KKSK Taikomųjų ir žiemos sporto šakų skyriaus vyr. treneris, 1985 m. KKSK Sportinių žaidimų ir žiemos sporto šakų skyriaus viršininko pavaduotojas, 1986-1990 m. KKSK Sporto valdybos vyr. treneris, 1990-1992 m. Respublikinės aukštojo sportinio meistriškumo mokyklos slidinėjimo ir biatlono vyr. treneris, 1992-1994 m. Lietuvos sporto federacijų direktorato generalinis sekretorius, 1992-1996 m. Lietuvos čiuožimo federacijos, nuo 1997 m. Lietuvos greitojo čiuožimo asociacijos (LGČA) generalinis sekretorius.
Nuo 2013 m. A. Vilčinskas užėmė LGČA prezidento pareigas, iš kurių pasitraukė pernai.
2003-2005 m. jis tai pat ėjo Lietuvos kerlingo asociacijos generalinio sekretoriaus pareigas, nuo 2008 m. dirbo Vilniaus olimpinio sporto centro greitojo čiuožimo treneriu.
Žymiausia A. Vilčinsko auklėtinė – olimpietė Agnė Sereikaitė, 2012 metais tapusi pasaulio jaunimo vicečempione, o 2014-aisiais Sočio olimpinėse žaidynėse užėmusi 16-ą vietą greitojo čiuožimo trumpuoju taku 1500 m distancijoje.
A. Vilčinskas inicijavo ir dalyvavo įrengiant Lietuvos žiemos sporto centro riedučių trasą Ignalinoje, Sapieginės šaudyklą ir asfaltuotą trasą Vilniuje.