Klausimą aptarinėjo iš įvairių pusių: nuo švietimo politikos nuostatų, kurios iš esmės nubrėžia viso matematikos mokymo Lietuvos mokyklose eigą ir nulemia pasekmes, iki asmeninio lygmens, tvirtinant, kad nemotyvuoti mokiniai nesimoko, o nemotyvuoti ar nenusimanantys mokytojai nenori, o gal ir norėdami nesugeba tinkamai mokyti ir paruošti egzaminui. Buvo kalbama ir apie bendras švietimo problemas, pvz., per didelės klasės, kad buvo priversti laikyti ir galbūt daug silpniau paruošti abiturientai, nes matematikos egzaminas būtinas siekiant nemokamos studijų vietos, kad egzamino užduotys ne visai atitinka ugdymo programą (kitaip tariant, nėra ryšio tarp ugdymo programą kuriančių ir egzaminą kuriančių žmonių), kad prasti vadovėliai ir prasta mokytojų kvalifikacija. Ir – kaipgi kitaip – neapsieita be visiems puikiai žinomos nuvalkiotos klišės: „O kam man visos tos matematikos iš viso reikia?“
Iš tiesų, visi šie aspektai svarbūs. Mokymo organizavimas turi būti tinkamas: klasės neturi būti per didelės, kad mokytojas spėtų parodyti dėmesį kiekvienam mokiniui; turi būti parengti tinkami vadovėliai; turi būti užtikrinta mokytojų kvalifikacija; turi būti sudaromos sąlygos atsilikusiems mokiniams pasivyti. Tinkamas turi būti ir tarnybų bendradarbiavimas: ugdymo turinį prižiūrinti tarnyba turi bendrauti su egzamino turinį prižiūrinčia tarnyba; turi būti užtikrinamas mokinių teisingas pasiekimų ir profilaktinis, ir galutinis vertinimas; turi būti teisingai interpretuojami PISA rezultatai, o išvados rašomos kompetentingų asmenų ir t.t. Daug visokių „turi būti“, bet ir išties taip turi būti: šios politikų ir švietimo ekspertų įvardijamos problemos turi būti sprendžiamos, nes kitaip gero rezultato nebus. Tačiau visa tai yra vadybinė-organizacinė klausimo pusė. Ji, dar kartą pasikartosiu, labai svarbi.
Bet yra ir kita klausimo pusė: idėjinė. Ir apie ją reikia labai daug kalbėti, ir siekti, kad kuo daugiau visuomenės įsitrauktų ir naudingomis įžvalgomis prisidėtų prie jos. Taip kalbu todėl, kad vadybinė-organizacinė pusė yra užgožusi viešąją erdvę; labai daug kalbame apie techinines įgyvendinimo detales, bet labai mažai – apie idėjinę pusę.
Idėjinė klausimo pusė kyla iš mūsų požiūrio į matematiką. Galima sakyti, kad nuo jos ir prasideda mūsų matematinio švietimo mokyklose problemos, kurios vėliau virsta štai tokiomis nesekmėmis, kaip trečdalis neišlaikiusių matematikos VBE (o aš pridėčiau ir daugiau – išplitęs matematinis neraštingumas tarp suaugusiųjų Lietuvoje, nors iš tiesų tai ne tik Lietuvos problema).
Visuomenėje įsišaknijusį ydingą požiūrį į matematiką kai kurie žmonės atsineša į valstybės tarnybą. Pradėję dirbti valstybės tarnyboje (o šiuo atveju kalbame apie švietimo politiką įgyvendinančias įstaigas, pvz., NŠA), tie valdininkai norom nenorom, veikiami savo asmeninių patirčių, atitinkamai kreipia ir Lietuvos matematinį švietimą. Ydingas asmeninis požiūris persikelia į valstybinius dokumentus, gaires, nuostatas ir galiausiai – į visos Lietuvos matematikos mokymą mokyklose. Juk pagal tas bendrojo ugdymo nuostatas ir programas rengiami ir vadovėliai, ir egzaminai, ir mokytojai. Tai tampa visuotine ydinga praktika.
Koks gi yra tas ydingas požiūris į matematiką? Galima nesunkiai nurodyti du esminius to požiūrio teiginius:
– matematika yra tam, kad būtų kažkur pritaikoma
– matematika iš esmės yra taisyklių rinkinys, kaip kažką padaryti (dažniausiai apskaičiuoti)
Galima pridėti dar vieną teiginį, kuris yra greičiau ne nuostata, kaip aukščiau parašyti dalykai, bet tam tikra kolektyvinė žinutė, šiuolaikinis memas, kuriuo žmonės dalijasi, perduoda iš kartos į kartą ir taip pajaučia bendrumo jausmą: „matematika yra sunku (nesuprantama)“:
„A, ir tu nesupratai matematikos mokykloje? Tai čia normalu. Kas gali tas nesąmones ir Pitagoro teoremas ten visokias su trigonometrijom suprasti. Kosmosas.“
Taigi nuo realijų paėjėkime į šalį ir pakalbėkime apie idėjinę pusę – kam apskritai reikalinga matematika. Tuo pačiu paaiškės, ir kodėl dabartinį požiūrį į matematiką laikau ydingu.
Ne padrikų taisyklių rinkinys, o samprotavimai, sujungiantys į visumą
Dauguma žmonių ragavo matematikos mokykloje. Nes privalėjo. Ir kokios bebūtų priežastys, žmonės mano, kad matematika sudėtinga. „Sunki“ ir „nesuprantama“ yra vieni dažniausių epitetų, klijuojamų matematikai. Matematika turi būti sudėtinga, o jei nėra – kažkas keisto. Žmonės praktiškai afišuojasi, kaip jie neišmano matematikos (turime to atgarsių ir lietuviškame Feisbuke). Tačiau niekam neatrodo gero tono ženklas demonstruotis visiškai nesusivokiant politikoje, ekonomikoje, muzikoje ar sporte.
Manau, kad iš dalies bėda yra ta, kad matematikos mokymasis reikalauja susikaupimo ir atkaklumo. Ji iš tikrųjų lengvai nepasiduoda perprantama, jei nenori priprasti prie ypatingo matematinio griežtumo, kuris naudojamas matematiniuose samprotavimuose. Negali tiesiog perversti matematikos vadovėlio, skaityti iš vidurio ar nuo galo, kaip kai kuriuose kituose moksluose ir vis tiek viską suprasti – privalai sugerti matematines žinias dalimis, duodamas daug laiko toms naujoms idėjoms nusistovėti, spręsdamas uždavinius, kuriems tos naujos žinios reikalingos. Antraip paskęsi tarp visų formulių, apibrėžimų ir savybių – viskas atrodys padrikai išbarstyta, be jokio ryšio vienas su kitu ir be jokio prototipo realiame pasaulyje, su kuriuo būtų galima sugretinti.
Tačiau tai, kad mokantis matematikos reikia nuoseklumo, susikaupimo, atkaklumo, nereiškia, kad jos negalima išmokti. Visi tie pasakymai „sunki“, „nesuprantama“ apibūdina ne tiek patį mokslą (matematiką), kiek nenorą stengtis pasiekti rezultatą ne tuoj pat, su minimaliomis pastangomis, o vėliau – kai prieš tai įdėjus daug darbo mokantis ir aiškinantis, keliant klausimus ir apmąstant atsakymus, supratimas ateina paskui.
Kodėl tinkamas matematikos mokymasis yra būtent toks? Priežastis tikriausiai yra susijusi su ypatinga matematikos sandara, lyginant ją su kitais dalykais. Jos esmė yra tikslumas ir griežtumas, kuriuo formuluojamas kiekvienas matematikos teiginys. Matematikoje įvedama abstraktūs objektai, visiškai nesirūpinant, iš kur jie atsiradę, ir jiems priskiriamos savybės, taip pat įvedami veiksmai su jais. Per aiškiai ir kruopščiai suplanuotą samprotavimą atskleidžiamos naujos tų objektų savybės, dažnai netikėtos. Labiausiai pasitenkinimą teikia, kai atidžiai sekdamas matematinį samprotavimą iki galo, įsitikini, kad išvada apie kažkokią naują savybę, sąryšį ir t. t. yra teisinga – ne dėl to, kad patikėjai, o dėl to, kad realiai pamatei. Jei teisingai supratai visus žingsnius įrodyme, gale susiduri su absoliučiu, nesugriaunamu teisingumu. Šis pojūtis yra unikalus ir jį reikia patirti pačiam; jis kažkiek panašus į praregėjimą. (Čia tinka angliškas žodis epiphany – kai staiga viskas tampa aišku, kiekvienas dalykas atsiduria tiksliai jam skirtoje vietoje, ir supranti, kodėl taip yra.) Matematika gali gausiai apdovanoti tokiomis atradimo akimirkomis.
Šito pasekmė yra tai, kad visos matematikos teorijos, kad ir kokios sudėtingos, sukonstruojamos iš kelių abstrakčių objektų, įvestų su arba be apibrėžimo, ir keleto teiginių, vadinamų aksiomomis arba postulatais, priskiriančiais savybes tiems objektams. O toliau galima stebėti, kaip matematiniais samprotavimais iš tų kelių pradinių teiginių sukonstruojama ištisa teorija.
„Kur man tai bus naudinga?“
Antras aspektas, kaip minėta, yra matematikos pritaikomumas. Tradiciškai mums sakoma, kad matematika svarbi, nes „ji daug kur naudojama“ arba kad „lavina loginį mąstymą“ ar tiesiog „reikės darbui“. Aišku, kad klausdami „kur man prireiks matematikos“ žmonės daro prielaidą, kad mokymasis privalo būti pateisinamas kažkokiu užslėptu pritaikomumu, ir mokytojai vargsta stengdamiesi patenkinti tokį mąstymą ieškodami ir pateikdami konkrečių pavyzdžių, kur taikoma matematika (ir visgi kai kurie iš jų pasakydami „reikės norint studijuoti geriausiuose universitetuose ar dirbti pas geriausius darbdavius“ labiau pakenkia, nei padeda, nes tepasako „taip reikia“ kitais žodžiais).
Ir vis dėlto – kas sakė, kad mokykloje ar universitete mokomės, kad ir tą pačią matematiką, nes kada nors prisireiks panaudoti? „Kur aš tai panaudosiu“ yra klaidingas klausimas nuo pat pradžių. Kai kas primygtinai stumia šį klausimą, o kiti, priėmę žaidimo taisykles, neriasi iš kailio prigalvoti visokių įtikinamų pavyzdžių, kur matematika taikoma. Manau, kad turėtume sustoti ir pamąstę suvokti, kad visas mūsų įsivaizdavimas apie būtiną matematikos „pritaikomumą“ yra beprasmis.
Pavyzdžiui, kodėl reikia žinoti apie Romos imperiją ar Julijų Cezarį? O apie Viljamą Šekspyrą? Bene ruošiatės suaugę skaityti (ir rašyti rašinius-interpretacijas apie) jo dramas? O gal būsimas vadovas tarptautinėje kompanijoje paprašys padeklamuoti „ką nors iš Maironio eilių, kur kalbama apie meilę tėvynei“, kad būtų pagrįstas metinis algos pakėlimas? O kam žinoti apie Žalgirio mūšį, Krėvos uniją, Antrą pasaulinį? Taigi seniai praėjo, prarado „aktualumą“. O kam reikia žinoti apie A. Smetoną? Buvo kažkas prieš šimtą metų, maža kas buvo. Galima tęsti ir tęsti dalykais, kuriuos mokomės mokykloje, – kuo skiriasi virusas nuo bakterijos, kas yra genas, kiek planetų Saulės sistemoje, kokia jų eilės tvarka, kas išrado raštą, kodėl yra panašių lietuviškų, lotyniškų, indiškų žodžių ... Kas nors pasipiktins: „Iš kur tiek įžūlumo kvestionuoti A. Smetonos autoritetą? Privalai žinoti apie didžias, svarbias asmenybes ir jų nepaprastus pasiekimus. Taip pat privalai suprasti civilizaciją ir kultūrą, ir iš kurios esi kilęs, taip pat ir aplinką, kurioje gyveni.“
Čia, gali būti, ir yra problemos priežastis. Istorija, literatūra, menas ir apskritai humanitariniai mokslai matomi kaip tenkinantys kažkokius „aukštesnius dvasinius poreikius“, kas juos atleidžia nuo tokių buitinių reikalavimų, kaip „būti naudingam“, o štai matematika kuo griežčiausiai vertinama per šią „naudingumo“ prizmę.
O vis dėlto ir matematika tarnauja tiems patiems „aukštesniems dvasiniams poreikiams“, kaip ir humanitarika. Viena vertus, ji gali teikti didžiulį intelektinį pasitenkinimą, atradimo džiaugsmą, jei tik sugebama prie jos tinkamai prieiti. Čia primenu jau minėtus „praregėjimus“ matematinio samprotavimo pabaigoje. Paprasčiausiai beveik niekada nebuvome mokyti matematikos taip, kaip reikia, ir niekada taip jos nemokėme kitų. Dauguma iš mūsų niekada nematėme matematikos tokios, kokia ji yra iš tiesų, ir per savo užsispyrimą, nenorą kelti gilesnių klausimų ir ieškoti atsakymų niekada ir nepamatysime. Tai liūdina, bet taip yra.
Antra, matematika yra neatsiejama mūsų civilizacijos dalis. Jos pasiekimai paliko įspaudą visų mūsų, šiuolaikinių žmonių, mąstyme. Mes be didelių pastangų sudedame, lyginame sveikuosius, trupmeninius skaičius, kas mums padeda suvokti pasaulį – juk be skaičių žmogui taptų neįmanoma net įsivaizduoti skirtumų, kurie egzistuoja pasaulyje. Ir karštas vanduo karštas, ir įkaitęs volframo siūlelis labai karštas. Tik karštas vanduo 60 laipsnių, o volframo siūlelis – 2500 laipsnių. Vadinasi, ne šiaip sau „kažkiek karštesnis“.
Negalėdami matuoti, skaičiuoti, lyginti verstumėmės apytiksliais „didelis“, „didesnis“, „labai labai didelis“. Fizinis pasaulis taptų nepažinus, apipintas mistika, magija ir tikėjimu. (Toks jis, beje, ir buvo žmonijos priešaušriais.) Tam, kad tos žinios taptų mums visiems prieinamos, daugybė šviesių protų turėjo dirbti, o visuotinis švietimas tas žinias perteikti. Todėl matematikos išmanymas yra būtinas bendram išprusimui. Kai žmogus visiškai nieko nežino apie istoriją (nors jis jos „netaiko“ kasdieniame gyvenime), laikome tai ne itin geru dalyku, nes sakome, kad jis neišmano apie kultūrą, iš kurios pats yra kilęs. Taip ir matematikos neišmanymas nubraukia dalį supratimo apie bendrą žmonijos kultūrą, iš kurios visi esame kilę.
Trečia, geras matematikos išmanymas apskritai ugdo pagarbą civilizacijai ir jos pasiekimams. Kai mokomės apie, pvz., J. Basanavičių, pripažįstame jo nuopelnus mūsų tautai, tartum atiduodame duoklę jo pasiekimams. Prisimindami jį ir laikmetį, kuriuo jis gyveno, suvokiame, kokiomis sąlygomis jis dirbo ir kūrė, ir tai perprasdami užtikriname, kad jo palikimas nebus pamirštas. Tai tarsi mūsų atsidėkojimas jam už tai, kad galime naudotis jo sukurtais vaisiais. Taip pat ir su matematika bei civilizacija – kad šiandien galėtume lengvai daryti tai, ką darome, daugybė šviesiausių protų turėjo įdėti daug pastangų, tad turime jaustis jiems dėkingi, perprasti istorinį kontekstą ir įprasminti jų palikimą jį perduodami ateities kartoms. Štai kodėl svarbu, kad kuo daugiau žmonių gerai išmanytų matematiką, o ne tik „kuriems to reikia“. (Ką reiškia tas „gerai“, ir kiek ko reikia išmanyti iš matematikos – visuomenės susitarimo klausimas. Tai atskira tema.)
Čia labai ryškų vaidmenį suvaidino senovės Graikija, kurios idėjos helenizmo laikotarpiu išplito, vėliau ilgam (dviem tūkstantmečiams) prigeso, per Renesansą buvo atgaivintos ir nuo tada prasidėjo vis greitėjantis šiuolaikinio mokslo vystymasis. Senovės graikai kūrė ypatingomis sąlygomis – beveik nuo nulio. Ne visai nuo nulio, nes jų iškiliausi mąstytojai sėmėsi įkvėpimo iš Senovės Egipto. Bet keliaudami po Egiptą ir semdamiesi ten žinių, jie jas rado padrikas, į loginę visumą nesusietas. Egipte tos žinios buvo gautos empiriškai ir, tikėtina, mistifikuotos, prieinamos tik saujelei išrinktųjų (žynių). Taip, egiptiečiai žinojo apie Pitagoro teoremą – jie žinojo, kad jei yra statusis trikampis ir yra „3 ir 4“, tai „bus 5“, o jei „6 ir 8“ – tai „bus 10“. Bet iš kur tie skaičių trejetai, kodėl jie tokie yra, klausimų nekilo (arba mes tiesiog apie tai nieko nežinome – gal ateity dar sužinosime?). O štai graikų išminčiai kėlė tuos klausimus – kodėl? Kas galėjo paskatinti senovės graikus taip kelti klausimus ir sukurti ištisą loginę geometrijos sistemą, neaišku: iš aplinkinių civilizacijų – Egipto, Persijos – tokių impulsų nebūta. Bet štai jie kažkaip patys savaime sugebėjo sugalvoti principus ir pagal juos iš padrikų geometrijos žinių sukonstruoti aksiomatinę-dedukcinę geometrijos sistemą.
Tai milžiniškas žmonijos pasiekimas – iš nieko sukurti kažką, tegu ir abstrakcijų pasaulyje. Todėl mes kaip visuomenė negalime leisti, kad tas pasiekimas taptų marginalizuotas – kad atsirastų kažkokia „matematikų kasta“, kuri pati sau užsiiminėja kažkuo tik jiems suprantamu, o visi kiti negali to suprasti. Kuo labiau bus stumiamas į paribį matematikos išmanymas, gresia ne tik visuomenės negebėjimas vystyti naujas aukštąsias technologijas ir jomis naudojantis kurti, bet apskritai yra grėsmė, kad matematikos žinių perdavimas ir tęstinumas labai ilgoje perspektyvoje gali nutrūkti, nes vis daugiau žmonių sakys „o kam man to reikia“, kol teoriškai jų ir visai nebeliks. Ir negalime sakyti, kad žmonijos istorijoje nėra precedentų, kai užmirštami civilizacijos pasiekimai. Prisiminkime kad ir neiššifruojamas rašto sistemas – linijinis A raštas iki šiol neiššifruotas, mezoamerikos rašto sistemos, išskyrus majų, irgi labai menkai perprastos. O juk buvo, kas jomis rašė, kas išmanė kaip savo penkis pirštus. Bet tos žinios buvo prieinamos tik išrinktiesiems (vėlgi žyniams), o nelikus žynių pražuvo ir pačios žinios.
Pabaigai
Pažvelgę į matematikos istoriją, galime kažkiek suprasti, kaip mąstė senovės žmonės, kokias problemas jie sprendė, ir kaip gyveno. Aiškiai matyti, kaip šumerams ir senovės egiptiečiams pirmiausia rūpėjo praktiniai matematikos aspektai, nes jie ją vystė kasdieniams poreikiams. Bet taip pat matome, kad senovės graikai buvo visai kitokie – jie buvo atidėję į šalį bet kokį „naudingumą“ ir užsiiminėjo matematika, kad patenkintų norą pažinti. Jie turėjo tai, ką vadino skholē, arba laisvalaikiu, – laiką, kai palikdavai kasdienius poreikius ir leisdavaisi į intelektinę (o gal ir dvasinę) kelionę į abstrakcijų pasaulį ieškodamas, ko trokšta dvasia; matematikos atveju tai tikriausia ir buvo minėti praregėjimai.
Žinoma, ne visi graikai buvo iškilūs mąstytojai. Tikriausia tik keletas galėjo sau leisti praktikuoti savo skholē. Juk tuo laiku nebuvo privalomo mokymo, socialinės rūpybos, siautėjo karai tarp tautų, ligos galėdavo plisti nevaldomai. Žmonės rūpinosi kasdieniais poreikiais ir išgyvenimu. Tačiau šiuolaikinė civilizacija įdėjo tiek pastangų sukurti geresnį gyvenimą savo piliečiams – buvo sukurta ir privalomas mokslas, ir socialinė rūpyba ir kitos valstybinės paslaugos. Prisiekėme užkirsti kelią karui. Tai kaip gali būti, kad net ir po 2500 metų, sugebėję pažaboti ar visai pašalinti šitiek problemų, su kuriomis buvo priversti gyventi protėviai, geriausia, ką sugebame, vis dar yra ieškoti kažkokio buitinio „naudingumo“? Argi neturėtų būti taip, kad dabar daugiau žmonių negu bet kada anksčiau turėtų suprasti būtinybę, grožį ir dvasinį pasitenkinimą ten, kur prieš daugiau nei 2000 metų galėjo tik saujelė laimingų senovės graikų?
Tokie tad mūsų reikalai su matematikos vertinimu ir mokymu mokyklose. Juos būtina pakeisti. Privalome atiduoti duoklę kolektyvinėms šviesiausių žmonijos protų pastangoms siekti ir įgyti pažinimą išsaugodami tas žinias ir perduodami jas ateities kartoms. O tinkamai taip padarę pelnysime ir dar du dalykus – atradimo džiaugsmą, gaunamą iš matematinių samprotavimų, ir galingą įrankį taikyti kitos srityse. Bet matematika ir turi būti matematika, o ne praskiestas mintinai išmoktų žingsnių, receptų ir procedūrų surogatas.