Kokia nauda iš matematikos?
Žvilgtelėkime į mokyklinę matematiką iš toliau. Kad ir kaip atrodytų keista, bet vientiso dalyko – mokyklinės matematikos – nėra. Ji susideda iš visiškai skirtingų logikos karalysčių. Kiekvienoje iš jų veikia savi įstatymai.
Taigi, mokyklinė matematika yra konfederacija, sudaryta iš maždaug dešimties skirtingų logikų. Tarp jų labai mažai panašumo ir jas sieja nebent bendra visiems aritmetika (tiksliau, veiksmai su skaičiais ir kintamaisiais). Iš tikrųjų, įžengę į šį logikos pasaulį, pamatysime, kad beveik nieko iš to, ką moko geometrija, negalime pritaikyti tikimybių teorijoje. Abiejose logikose veikia visiškai skirtingi dėsniai ir taisyklės. (Aišku, galime sugalvoti uždavinį, panaudodami abi šias logikas, bet tai nereiškia, kad jos turi kažką bendro).
Savo ruožtu tikimybių teorijos sąvokos ir jų savybės visiškai kitokios negu trigonometrinių funkcijų teorijos. Praktiškai žinodamas bet kurią vieną iš jų, nieko negalėsi pritaikyti kitoje. Panašiai tikimybių ar trigonometrinių funkcijų teorijos tiesiogiai nepritaikomos nagrinėjant rodiklines ir logaritmines funkcijas. Pastarųjų dėsniai savo ruožtu tampa fantastikos sritimi nagrinėjant integralų savybes ir t. t.
Moksleiviams matematika pasiūlo apsilankyti šiose dešimtyje karalysčių ir ne šiaip sau ten pasivaikščioti. Matematika turi fantastinį instrumentą – uždavinius. Jie įteisina veiklą. O veikiant iš karto matyti, kada „prašauni“ pro šalį – būtent tada, kai nesupranti ar nesilaikai tos karalystės logikos taisyklių.
Matematika išmoko mokinį surasti ir perprasti bet kokios gyvenimo srities taisykles ir jomis pagrįsti savo veiksmus. O tai reiškia, išsirinkti geriausią problemos sprendimo būdą.
Bet tai dar ne viskas. Šios matematinės karalystės nėra realios. Tai tik vaizduotės objektai – nematomi, negirdimi ir neužuodžiami. Neįmanoma pačiupinėti nei ikso nei jo išvestinės. Todėl mokymosi sėkmė priklausys nuo vaizduotės. Ir ji lavinasi keliaujant per matematikos karalystes. Moksleivis įgyja sugebėjimą analizuoti ne tik realius, bet ir abstrakčius reiškinius. O tai yra bet kokios kūrybinės veiklos pagrindas: daiktų, santykių, procesų ar savo vietos gyvenime.
Bet ar matematikos žinios formuoja mąstymą? Dėl aptakios sąvokos „mąstymas“ reikšmės sunku būtų atsakyti. Mokyklinės matematikos žinios sukuria pagrindą, ant kurio gali vystytis mąstymas. Ko gi dar trūksta? Dviejų dalykų: drąsos ir aktyvumo gyvenime.
Todėl mokyklinės matematikos nauda yra nenuginčijama. Belieka ją gauti, t. y. išmokyti moksleivius matematikos. Va čia viskas ir prasideda.
Matematikai imli klasė
Jeigu matematikos mokytojas sugebėtų perteikti bent pusę savo žinių vidutiniam mokiniui, mes būtume nepalyginamai geresnėje padėtyje, negu esame dabar. Kas gi trukdo mokytojui tai padaryti? Atsakymą į šį klausimą rasime susipažinę su matematikai imlios klasės strategija.
Pripažinkime, kad mokytojas vien tik administruodamas niekada negalėjo, negali ir negalės išmokyti visos klasės matematikos (turime galvoje vidutinę, ne rinktinių mokinių klasę). Bet jis gali sukurti aplinką, kurioje klasė pati sugebės išmokti matematiką. Pavadinkime ją matematikai imlia klase. Jos įgyvendinimo formos gali būti labai įvairios, atspindinčios matematikos mokytojo individualybę, pamokos turinį bei moksleivių lygį. Kaipgi turėtų atrodyti matematikai imli klasė?
Jos esmė yra darbo atmosferoje, kurioje kiekvienas moksleivis nori, nebijo ir sprendžia uždavinius pats. Niekas nereikalauja iš mokinio iš karto teisingo uždavinio išsprendimo. Čia klaidinga iniciatyva net verta ir vertinama labiau, negu teisingo sprendimo nusirašymas nuo lentos ar klasės draugų.
Būtent šioje terpėje ir gimsta klausimai. Gimsta – tai per silpnai pasakyta. Visa erdvė pritvinusi ir tiesiog sprogsta nuo klausimų. Klasėje girdimas šurmulys parodo, kad dalį iš jų pavyksta išsiaiškinti mokiniams tarpusavyje bendraujant, dalį – klausiant mokytojo. Mokytojas šiuo metu atlieka „trenerio-padėjėjo“ vaidmenį. Jis nerūšiuoja, nevertina, nepyksta už pasikartojančius ar „kvailus“ klausimus, bet nuoširdžiai atsako į juos visus. Klasėje klesti kūryba – stimulas, nušluojantis visas kliūtis.
Tam, kad viskas sklandžiai veiktų, reikėtų kelių paruošiamųjų darbų. Visų pirma, atsisakyti arba beveik atsisakyti moksleivių uždavinių sprendimo prie lentos. Tai užima per daug laiko, skatina primityvų nusirašinėjimą nuo lentos ir veikia silpnesnio mokinio psichologiją gniuždomai (o tokių klasėje dauguma). Mokytojas tiesiog pats turėtų parodyti ir išspręsti visus tipinius uždavinius lentoje.
Mokyklinę matematiką galima išdėstyti ir išmokyti įvairiais būdais. Šiuo metu mokykloje matematika mokoma per uždavinių sprendimą. Tai nėra trūkumas. Bet kodėl gi nesugebame išmokyti mokinių spręsti uždavinių?
Problema kyla iš uždavinio dvilypumo. Bet koks uždavinys yra dviejų dalių kūrinys: temos ir technikos (sunkumo). Abi šios dalys yra tam tikras iššūkis mokiniui. Tą pačią teoriją galima pateikti paprastais, lengvais uždaviniais. Galima kartelę pakelti arba net iš viso neriboti jų sunkumo.
Dažniausiai klasėje išsprendžiama žymiai per mažai uždavinių dėl to, kad neribojame jų „idėjų“ įvairovės ir nepakankamai atsižvelgiame į technikos sudėtingumą. Tiesiog išliejame per daug naujos informacijos ir sužlugdome pamoką. Pastebėkime, kad lengvi uždaviniai nereiškia mažiau matematikos. Netgi atvirkščiai. Jų galima išspręsti daugiau, o tai leidžia matematinį objektą ar jo savybes atskleisti iš įvairesnių kampų.
Paprastai čia išryškėja dilema: arba atskleisti temą, arba bandyti aprėpti visas šiuo klausimu galimas uždavinių sprendimo idėjas. Pirmą dalį verčia daryti protingumo kriterijus, antrą – matematikos egzamino uždavinių įvairumas. Vargu, ar kas nors dar taip žlugdo matematikos mokymą, kaip egzamino uždavinių sudarytojų puikavimasis uždaviniais. Mokytojas, aiškindamas naują temą, turėtų įvertinti klasės pajėgumą ir parinkti adekvatų uždavinių kiekį. T. y., klasėje sukurti uždavinių sprendimo mokymosi sistemą. Tuo tikslu tos pačios uždavinių sprendimo idėjos, „įvilktos į skirtingą rūbą“, turėtų mokiniui pasikartoti bent tris kartus. Pirmą kartą mokytojas jas išaiškina lentoje, antrą kartą visi sprendžia klasėje ir trečią kartą – namuose.
Mokytojas turi atsakyti į visus klausimus, kitaip sistema neveiks. Iššūkis iškyla jau dešimties mokinių klasėje ir tai tampa praktiškai neįmanoma, kai klasėje mokosi daugiau nei penkiolika mokinių. Todėl suorganizuoti matematikai imlią klasę dabartinėje mokykloje su 30 mokinių klase yra neįmanoma. Kas gi lieka? Tai uždavinių sprendimų nusirašymo nuo lentos arba nuo draugų toleravimas. O taip matematikos nesuprasi ir neišmoksi.
Iš esmės pamoka virsta paskaita, kuri tiesiog nurašoma. Tai nebūtų jokia tragedija, pavyzdžiui, istorijos pamokai, bet matematikos pamokai tai mirtis. Matematikos neįmanoma išmokti prieš tai jos nesupratus. O suprasti ją galima tik asmeniškai sprendžiant uždavinius. Gal todėl straipsnio pavadinime slypintis klausimas nėra toks jau ir retorinis.
Kokia mokyklos misija: išmokyti ar įtikinti, kad esi negabus matematikai?
Mokykla iš vaikų darželių gavo matematikos nemokančius vaikus ir po dvylikos metų paleido į gyvenimą irgi matematikos nemokančius abiturientus. Iš pirmo žvilgsnio lyg nieko ypač blogo neįvyko, tik mokykla neatliko savo misijos. Per matematikos pamokas mokytojai vykdė ne mokytojo, o auklėtojo funkciją. Jie prižiūrėjo tvarką klasėje ir atliko būtinus formalumus. Kadangi mokytojo alga nedaug tesiskiria nuo auklėtojo algos, tai toks pakeitimas nėra didelis mokytojo nusižengimas. Ir viskas būtų gal ne taip ir blogai, jeigu tai būtų sąžiningai ir atvirai deklaruojama.
Bet taip nėra. Ir prieš mūsų akis atsiveria dramatiškas paveikslas. Dramatiškas mokiniui, o todėl ir valstybei. Pabandykime „įlįsti į mokinio kailį“. Jam labai sunku teisingai įvertinti padėtį, suprasti savo, tėvų, mokytojo, valstybės ir paties dalyko (matematikos) vaidmenis. Čia jis pagrindinis veikėjas. Jį kviečia prie lentos – pažeminimo lentos, – kuri parodo klasei, kad jis yra kvailas. Tiesą sakant, jis jau seniai nebesupranta matematikos. Minimalūs teigiami pažymiai nurodo tik sugebėjimą išsisukti iš padėties: nusirašymą ir mokytojo malonę. Visa laimė, kad jis – ne vienintelis. Didžioji klasės dauguma yra lygiai tokioje pat padėtyje. Gal tai ir yra šiandieninės mokyklos mokinio psichologijos pagrindinis išsigelbėjimo ratas? Tiksliau sakant, išorinis išsigelbėjimo ratas. Vidinį jis turi susikurti pats. Tam, kad apsaugotų savo psichiką, jis turi patikėti, kad yra neįgalus arba, švelniau tariant, negabus matematikai. Tai melas, apribojantis jo polinkius, veiksmuose kuriantis baimę, nepasitikėjimą ir apatiją.
Koks turėtų būti mokytojo atlyginimas?
Daugelis kalba apie mokytojų atlyginimo kėlimą. Bet iš tikrųjų šį veiksmą netikslu pavadinti atlyginimo pakėlimu. Bet kokios srities ne tik stabilumas, bet ir išlikimas visų pirma remiasi į sumokėjimą tos srities darbuotojams jų darbo vertą atlygį. T. y. mokytojams reikia sumokėti tiek, kiek jų darbas vertas Lietuvos rinkoje (ne Vakarų Europoje). Tai atrodo visiškai akivaizdus teiginys. Jeigu žmogui nesumokėsi tiek, kiek vertas jo darbas, tolimesnėje perspektyvoje jis jį paliks, o kadangi tai darys dauguma čia dirbančių, tai ši sritis žlugs. Todėl rinkos vertės atlyginimo mokėjimas darbuotojui nėra kažkokia dovana jam, kažkoks atlyginimo pakėlimas. Tai tik pačios sistemos išsaugojimo būtinybė.
Kada gi atlyginimas atitinka darbo vertę? Apie tai galime spręsti iš darbuotojo pasisamdymo laiko. Jeigu darbdavys ištisus mėnesius nesugeba surasti darbuotojo, tai neatitikimas tarp darbo ir atlyginimo už jį yra akivaizdus. Dabar didžiausias Lietuvos mokyklų direktorių galvos skausmas – kuo pakeisti išėjusį mokytoją (beveik visų specialybių). Žmonės nesirenka mokytojo profesijos todėl, kad įvertina mokytojo darbą kaip sunkesnį, negu už jį sumokomas atlyginimas.
Kartais atrodo, kad rinkos vertas atlyginimas – tai tarsi kažkokia parama mokytojui. Deja, tai ne tiesa. Kartu su šiuo atlyginimu mokytojas iš karto gauna ir konkurencingą aplinką, kuri jį verčia tobulėti, siekti geresnių mokymo rezultatų.
Sakysite, iš kur paimti pinigų? Pinigų visada ir visur trūksta. Paprastai šis klausimas sprendžiamas nustatant prioritetus. Kokia perspektyva šalies, kuri informacinių technologijų amžiuje švietimo, o ypač matematikos mokymo, nelaiko prioritetu?
Mes juk žinome – dėl visko kalti mokiniai
Taigi, kodėl gi su mokyklinės matematikos žiniomis Lietuvoje visai nekaip? Visuomenėje paplitęs atsakymas į šį klausimą yra toks: nes mokiniai patys nesimoko matematikos. Šis teiginys paremiamas įvairiomis tezėmis: mokiniai neturi motyvacijos mokytis, jie darbo kultūrą iškeitė į atsipalaidavimo kultūrą, mokyklos rašo išpūstus pažymius ir t. t. Bet būkime sąžiningi: visas šis paveikslas sulipdytas iš dalinės tiesos, baimės, noro atsikratyti atsakomybės, naivumo ir patogaus melo. Išsiaiškinkime.
Pirma – nėra mokinių apskritai. Šis terminas ignoruoja vidinį vystymąsi ir todėl iškreipią vaizdą. Bet kuris mokinys kai ką ir kai kada mokosi, o kai ko – ne. Švietimo sistemos tikslas – didinti besimokančiųjų dalį. Šiuo metu matematikos kursą įsisavina tik apie dešimtadalį mokinių. Įgyvendinus reformą (mokytojams sumokėjus jų darbą atitinkantį atlyginimą ir leidus sukurti imlią matematikai klasę), matematiką išmokusių mokinių skaičius padidėtų bent iki trečdalio. Vis tiek tai ne dauguma, bet iš tikrųjų žengtume į visai kitą lygį. Mes sugebėtume išmokyti trigubai daugiau mokinių, negu išmokome dabar. Tai atsilieptų visose srityse daugiau negu teigiamai. Toliau, įvykdę dar kelis papildomus sistemos pakeitimus, galėtume pusę mokinių išmokyti matematikos. Neturėkime iliuzijų išmokyti matematikos visus mokinius, bet net artimiausiu metu galime pabandyti tai padaryti su puse moksleivių.
Antra – kodėl mokiniai nesimoko būtent matematikos? Jeigu jie yra tingūs, nemotyvuoti, įnikę į atsipalaidavimo kultūrą ir t. t., tai tas turėtų pasireikšti visuose dalykuose. Tačiau taip nėra. Anglų kalbą išmoksta didelė dalis mokinių. Anglų kalba nėra toks jau paprastas dalykas, bet jį mokiniai mokosi. Gal mūsų požiūris į mokslą yra neadekvatus? Matyt, besistengiančiųjų ir dirbančiųjų yra ne mažiau kaip pusė visų mokinių. Tai kodėl jie nesimoko matematikos? Gal vis dėlto švietimo sistema jiems tai trukdo padaryti? Kaip gali mokinys išmokti matematikos, prieš tai jos nesupratęs? Ar matematikos pamokoje kam nors rūpi eilinio mokinio supratimas? Nejaugi neaišku, kad 30 mokinių susodinus į klasę, ši problema stipriai viršija bet kokio matematikos mokytojo galimybes?
Kodėl gi Lietuvos moksleiviams nesuteikus galimybės išmokti matematikos?
Nuo ateinančių mokslo metų startuoja įspūdinga Švietimo ministerijos parengta reforma. Čia nesvarstysime jos teigiamų ar neigiamų pusių, nes ji iš esmės sprendžia tik taktinius klausimus. Straipsnyje sąmoningai stengėmės nesiūlyti taktinių žingsnių, nes jais neįmanoma (nors ir labai norisi) pakeisti 2 būtinų strateginių žingsnių – mokytojo atlyginimo ir matematikai imlios klasės sukūrimo (matematikos pamokoje – ne daugiau 15 žmonių).
Belieka pridurti, kad šis straipsnis yra subjektyvi autoriaus nuomonė, paremta daugiamete pedagogine patirtimi.